พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด 

1. การเรียกชื่อพีระมิด

การเรียกชื่อพีระมิด นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยม เป็นต้น

 2. ส่วนประกอบของพีระมิด

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง

พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

 

*ข้อสังเกต

1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน
3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกัับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน เป็นระยะเท่ากัน
4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน

3. การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด

การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้เสียก่อน

** การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน

Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียงวิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

กำหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 + 3= 52
AB2 = 52 - 32
AB2 = 16
AB = 4

ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว

3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดส่วนสูง

Ex.2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
 

BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 = 122 + 52
AB2 = 144 + 25
AB= 169
AB = 13

ตอบ สูงเอียงยาว 13 นิ้ว

3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กำหนดสูงเอียง

Ex.3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AC2 + 52 = 132
AC2 = 169 – 25
AC2 = 144
AC = 12

 

ตอบ ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว

4. พื้นที่ผิวของพีระมิด

4.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน)

หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง

จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง

ดังนั้น

สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง

* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

จะได้ว่า

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

พิสูจน์

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

= พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน

= (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จำนวนด้านของฐาน —- จำนวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของฐาน

= (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน

= ½ × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง

= ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง

ซตพ.

4.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด

ดังนั้น

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

สรุป
1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด
2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
3) ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

5. ปริมาตรของพีระมิด

ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ
การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย

การหาปริมาตรของพีระมิด ให้ทดลองจากกล่องทรงปริซึม

จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง (จะได้เรียนในบทต่อไป)

เมื่อพีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม

เมื่อทำการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม

ดังนั้น

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง

Ex.5 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

วิธีทำ

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง

ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 1/3 × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
1/3 × ( 22 × 22 ) × 15
= 22 × 22 × 5
= 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 2,420 ลบ.ซม.

Ex.6 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร สูงเอียงยาว 25 เซนติเมตร

วิธีทำ เนื่องจาก สูตรของปริมาตรพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง

แต่โจทย์ไม่ได้กำหนดส่วนสูงมากให้
ดังนั้น ต้องหาส่วนสูงก่อน
ขั้นที่ 1 หาส่วนสูง
ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐานยาว คือ 14 ÷ 2 = 7 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

AC2 + 72 = 252

AC2 = 625 – 49
AC2 = 576
AC = 24
เพราะฉะนั้น ส่วนสูงยาว 24 นิ้ว
ขั้นที่ 2 หาปริมาตร
สูตรของปริมาตรพีระมิด = 1/3× พื้นที่ฐาน × สูง
ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 1/3× ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
1/3× ( 14 × 14 ) × 24
= 14 × 14 × 8
= 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ตอบ 1,568 ลบ.ซม.

พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

1. การเรียกชื่อปริซึม
ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน
2. ส่วนประกอบของปริซึม

3. พื้นที่ผิวของปริซึม

3.1) พื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

3.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

4. ปริมาตรของปริซึม

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

1. ส่วนประกอบของทรงกลม

2. พื้นที่ผิวของทรงกลม

         พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4¶r2

3. ปริมาตรของทรงกลม

        ปริมาตรของทรงกลม = 4/3¶r3     เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก
1. ส่วนประกอบของทรงกระบอก
(ซ้าย คือ ทรงกระบอกตรง, ขวา คือ ทรงกระบอกเอียง)
ทรงกระบอกกลวง
2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก
2.1) พื้นที่ผิวข้าง
เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป
อธิบายภาพเพิ่มเติม
1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh
2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = ¶r2
2.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r2)
เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน
และ h แทนความสูงทรงกระบอก
3. ปริมาตรของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r2h
4. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลวง
เมื่อ r คือรัศมีภายใน
R คือ รัศมีภายนอก
h คือ ส่วนสูง
จะได้ว่า
1) พื้นที่หน้าตัดทั้งสอง = 2 (¶R2 – ¶r2 )
2.พื้นที่ผิวด้านนอก = 2¶Rh
3.พื้นที่ผิวด้านภายใน = 2¶rh
พื้นที่ผิววงแหวน = 2 (¶R2 – ¶r2 ) + 2¶Rh + 2¶rh
5. ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง (วงแหวน)
 เมื่อ h คือ ส่วนสูงของทรงกระบอกกลวง
r คือ รัศมีภายใน (รัศมีของทรงกระบอกเล็ก)
R คือ รัศมีภายนอก (รัศมีของทรงกระบอกใหญ่)
ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่ – ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก
¶R2h – ¶r2h
พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย
1. ส่วนประกอบของกรวย
2. ความสัมพันธ์ของด้านรัศมี (r) ความสูง (h) และ สูงเีอียง (l)
ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า r2 + h2 = l2  
3. พื้นที่ผิวของกรวย
3.1) พื้นทีฺฺ่ผิวข้าง
เมื่อคลี่กรวยออก จะได้่ดังรูป
 
1) ซ้าย : ส่วนของฐาน
พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม ดังนั้น
พื้นที่ฐาน = ¶r2
2) ขวา : ส่วนของข้างกรวย
เป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง
พื้นที่ผิวข้างของกรวย = ¶rl
3.2) พื้นที่ผิว
เนื่องจาก พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = ¶rl + ¶r2
หรือ = ¶r(l + r)
4. ปริมาตรของกรวย
ถ้าลองนำทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว r หน่วย และสูง h หน่วย
จะได้ว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร = ¶r2h
สร้างกรวยแต่ละอันมีรัศมียาว r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก และสูง h หน่วยเท่ากับส่วนสูงทรงกระบอก
ถ้่าตวงทราย 3 กรวยใส่ จะได้เต็มทรงกระบอกพอดี
สรุปได้ว่า ปริมาตรกรวย = 1/3¶r2h
เมื่อ r แทนรัศมีกรวย
และ h แทนส่วนสูงของกรวย
สูตรการหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ
การหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ อาจจำเป็นสำหรับการหาพื้นที่ฐานของรูปสามมิติ จึงควรทราบเอาไว้
About these ads

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s